BRDEČKOVÁ, J. Hyperbolické geometrie [online]. Brno: Vysoké učení technické v Brně. Fakulta strojního inženýrství. 2021.
Předložená práce je věnována popisu základních vlastností a některých modelů hyperbolické geometrie. V první části práce autorka popsala okolnosti vzniku hyperbolické geometrie, které úzce souvisí se známou historií pátého Eukleidova postulátu. První dva cíle práce (popsat základní vlastnosti hyperbolické geometrie a porovnat je s vlastnostmi geometrie eukleidovské) tedy považuji za splněné. Hlavní část práce je věnována třetímu cíli ze zadání "popsat rovněž některé modely hyperbolické geometrie". Autorka si k tomu vybrala pseudosféru, která vzniká rotací křivky traktrix. Přehledně popsala základní vlastnosti obecných rotačních ploch, odvození traktrix a některé vlastnosti pseudosféry. Poslední kapitola se pak zabývá popisem dvou modelů hyperbolické geometrie, které jsou odvozeny z pseudosféry. Tyto modely autorka převzala z Pressleyho monografie [5] uvedené v seznamu literatury. Kladně hodnotím, že autorka prokázala schopnost pracovat s cizojazyčnou matematickou literaturou. Dobře využila aparátu klasické diferenciální geometrie křivek a ploch k popisu některých modelů hyperbolické geometrie. Některé části práce však mohly být napsány podrobněji. Např. u obecných rotačních ploch mohl být uveden detailnější popis a odvození geodetik, což by se hodilo u pseudosféry. Popis modelů hyperbolické geometrie mohl být rovněž obsáhlejší - např. citovaná monografie [5] obsahuje řadu dalších zajímavých kapitol a příkladů, které autorka mohla ve své práci využít. Po formální stránce nemám k práci připomínek a stanovené cíle považuji za splněné.
| Kritérium | Známka | Body | Slovní hodnocení |
|---|---|---|---|
| Splnění požadavků a cílů zadání | C | ||
| Postup a rozsah řešení, adekvátnost použitých metod | C | ||
| Vlastní přínos a originalita | C | ||
| Schopnost interpretovat dosažené výsledky a vyvozovat z nich závěry | B | ||
| Využitelnost výsledků v praxi nebo teorii | C | ||
| Logické uspořádání práce a formální náležitosti | B | ||
| Grafická, stylistická úprava a pravopis | B | ||
| Práce s literaturou včetně citací | B | ||
| Samostatnost studenta při zpracování tématu | C |
Práce se zabývá hyperbolickou geometrií na pseudosféře. V poředí zájmu je modifikace pátého Eukleidova axiomu na hyperbolickou geometrii, kde k zadané přímce a bodu ležícím mimo ni lze vést více rovnoběžek. Po motivační a přehledové úvodní kapitole srovnávající některé vlastnosti v klasické, eliptické a hyperbolické geometrii následuje přehled základních pojmů a faktů z klasické diferenciální geometrii křivek a ploch. Poté se věnuje zavedení traktrixu, odvození jeho rovnice, parametrizace a zavedení pseudosféry vzniklé rorací traktrixu kolem osy z. Ze vzorců pro 1. základní formu na obecné rotační ploše vyvozuje konformnost identifikace pseudosfěry s "upper plane" a s Poincarého diskovým modelem. Ze vzorců týkajících se Gaussovy křivosti vyvozuje, že jedinou plochou s konstantní zápornou křivostí je pseudosféra. Na základě monografie Pressleyho uvádí, že geodetiky v obou modelech odpovídají segmentům kružnic a přímkám, z čehož se mimo jiné vyvozuje neplatnost klasického Eukleidova axiomu rovnoběžek. Chválím zejména přímočarost, srozumitelnost a logičnost výkladu a schopnost pochopit a zpracovat dosti náročnou teorii. Kladně hodnotím i doprovodné obrázky, které shledávám ilustrativní a ulehčující pochopení čtenáři. Rovněž jazyková úroveň je na velmi dobré úrovni. Vytýkám naopak málo prostoru věnovanému objasnění idey Věty 5.2, tedy proč geodetiky v „upper plane“ modelu odpovídají segmentům kružnic a přímkám. Ve 2. kapitole postrádám Gauss-Bonnetovu větu, zejména v kontextu k Větě 5.6, která je jejím zobecněním a také k diskutovanému součtu vnitřních úhlů trojúhelníka v úvodní kapitole. Jeví se mi, že celkový rozsah práce mohl být širší. Navrhuji klasifikaci stupněm C.
| Kritérium | Známka | Body | Slovní hodnocení |
|---|---|---|---|
| Splnění požadavků a cílů zadání | C | ||
| Postup a rozsah řešení, adekvátnost použitých metod | C | ||
| Vlastní přínos a originalita | C | ||
| Schopnost interpretovat dosaž. výsledky a vyvozovat z nich závěry | B | ||
| Využitelnost výsledků v praxi nebo teorii | B | ||
| Logické uspořádání práce a formální náležitosti | B | ||
| Grafická, stylistická úprava a pravopis | B | ||
| Práce s literaturou včetně citací | B |
eVSKP id 133864