MACHOVIČOVÁ, T. Banachovy algebry [online]. Brno: Vysoké učení technické v Brně. Fakulta strojního inženýrství. 2021.

Posudek vedoucího

Franců, Jan

Matematické modelování heterogenních materiálů s jemnou strukturou vede na parciální diferenciální rovnice se silně proměnlivými koeficienty. Pro numerické výpočty proto nutno tyto koeficienty nahradit ekvivalentními konstantními tzv. homogenizovanými koeficienty a nahradit tak heterogenní materiál materiálem homogenním s globálně stejnými vlastnostmi. Klasický přístup vychází z předpokladu, že materiál má periodickou strukturu. Protože reálný materiál často nemá periodickou strukturu, objevilo se několik přístupů, jak předpoklad periodicity materiálu zobecnit. Asi nejobecnější dávají práce Gabriela Nguetsenga z roku 2003/04 založené na Banachových algebrách se střední hodnotou a jejich spektrech. Cílem diplomové práce bylo tento vysoce abstraktní přístup nastudovat a „zpřístupnit“ metodu pro inženýrskou praxi. Zpracovávané téma je velmi náročné. Většinu cílů se autorce splnit podařilo, místy však chybí objasnění souvislostí mezi novým přístupem a původním. Chtělo by to lépe vysvětlit smysl nových pojmů. První kapitoly jsou psány zbytečně podrobně. Závěrečné části jsou psány ve spěchu, což způsobilo některé nepřesnosti. Chtělo by to rozšířit je a doplnit konkrétními příklady a aplikacemi. Autorka pracovala samostatně, na internetu našla řadu nových zdrojů. Grafická úprava je dobrá. Práce je psaná slovensky, stylistická úroveň je dobrá s minimem gramatických chyb. Práci doporučuji k obhajobě a navrhuji známku C

Posudek oponenta

Nechvátal, Luděk

Modelování jevů v silně heterogenních prostředích vede z numerického hlediska na obtížnou úlohu z důvodu rychle se měnících vlastností v takových prostředí. Přirozenou myšlenkou je náhrada heterogenního média nějakým náhradním homogenním, ve kterém by zkoumaný jev měl na makroskopické úrovni stejné vlastnosti. Na otázku, jak správně takové homogenní médium určit, dává odpověď metoda homogenizace, jejíž myšlenkou je konstrukce posloupnosti úloh s čím dál jemnější strukturou, přičemž tato posloupnost (v jistém smyslu) konverguje k limitní "homogenní" úloze, která modeluje zmíněný "homogenizovaný" jev. Metoda je známa od 70. let minulého století a byla úspěšně aplikována na řadu praktických problémů, nicméně její nevýhodou je požadavek periodické struktury média, což může být omezující (v reálném světě nelze očekávat striktně periodické struktury). Hledaly se proto nástroje, jak předpoklad periodičnosti oslabit. To se postupně podařilo v prvním desetiletí tohoto století v podobě nového typu konvergence v prostorech funkcí nazvané sigma-konvergence, která využívá vlastností Banachových algeber. Předpoklad periodické struktury média je zde nahrazen předpokladem existence spektra homogenizační algebry. Předně je potřeba říci, že téma je v rámci diplomových prací vysoce obtížné (studovaná problematika využívá mnoha náročných poznatků z funkcionální analýzy). Odtud plyne rešeršní charakter práce (nelze očekávat, že by při dané obtížnosti studenti magisterského studia dokázali přispět k tématu v teoretické rovině). Práce (poměrně vyčerpávajícím způsobem) postihuje veškeré koncepty potřebné pro neperiodickou homogenizaci, nicméně si umím představit jejich lepší provázanost. Přesněji, místy mně chybí motivace (dovysvětlení), proč se ten či onen pojem zavádí (a k čemu bude využit), větší vhled do vzájemných souvislostí, atp. Z tohoto hlediska se pak jeví druhá kapitola jako zbytečně podrobná (ta obsahuje spíše klasické pasáže z matematické a funkcionální analýzy). Nabízí se také otázka praktické (softwarové) implementace neperiodické homogenizace, jsem si ale vědom, že to nebylo v cílech práce. Co se týče formální stránky, nemám zásadních výhrad, text je sepsán poměrně pečlivě. Nějaké věcné nepřesnosti (např. v def. 2.76), neobratné formulace (např. v pozn. 2.81 a 6.33) a stylistické prohřešky vysledovat lze, jejich počet ale vzhledem k rozsahu textu není dramatický.

eVSKP id 131909