ČAPUTA, D. Diskrétní regulární variace a diferenční rovnice [online]. Brno: Vysoké učení technické v Brně. Fakulta strojního inženýrství. 2022.

Posudek vedoucího

Řehák, Pavel

Diplomant ve své práci studuje asymptotické vlastnosti lineárních diferenčních rovnic 2. řádu. Hlavním nástrojem je diskrétní teorie regulární variace, dále též množství různých asymptotických odhadů, transformace mezi rovnicemi na různých časových škálách, či princip pevného bodu. Pro účely vyšetřování diferenčních rovnic jsou v práci přehledně připomenuty vlastnosti regulárně se měnících posloupností. Především je však dokázána řada výsledků, které se dají shrnout do třech oblastí: 1) Nalezení podmínek zaručujících regulární variaci všech elementů prostoru řešení. 2) Odvození asymptotických formulí pro tato řešení. 3) Popis vztahů mezi různými asymptotickými třídami. Podstatná část těchto výsledků je nová a má nesporně potenciál publikovatelnosti v odborném časopise. Student začal velmi aktivně pracovat již ve čtvrtém ročníku a během několika měsíců se podařilo provést řadu zásadních výpočtů, které rozhodně nebyly jednoduché. Pátý ročník si rozvolnil a s tím také přišlo značné zpomalení prací. Množství práce (především sázení do LaTeXu, ladění úvah a formátu) bylo bohužel ponecháno na poslední chvíli, což se ve finále projevilo přítomností jistého množství překlepů či drobných nedokonalostí. Práce má však přesto vysokou (a dle mého soudu nadprůměrnou) úroveň. Autor nastudoval a vstřebal množství literatury a s nemalým vlastním přínosem zpracoval nelehké téma, které v mnoha ohledech značně překračuje učivo standardních kurzů. Navíc je text psán v anglickém jazyce. Oceňuji též např. snahu o přiblížení hlavních myšlenek důkazů ve formě přehledných diagramů. Vzhledem k uvedeným skutečnostem doporučuji diplomovou práci k obhajobě a hodnotím stupněm A.

Posudek oponenta

Tomášek, Petr

Diplomová práce se zabývá asymptotickými vlastnostmi řešení lineární diferenční rovnice druhého řádu. V práci jsou formulovány nové teoretické výsledky pro specifickou třídu těchto rovnic. V důkazech tvrzení je využito transformace úlohy na dynamickou rovnici na časových škálách a teorie diskrétních regulárních variací. Práce obsahuje poměrně malé množství pravopisných chyb (např str. 23: nonoscillative/nonoscillatory; str 30, 6. řádek zdola: if/is; str.38_10 "the root"/"be the root"; str 39: neccesity/necessity; str 41: "on diverge"/"or diverge"; str. 52: "we Lemma 1.5 yields"; str. 57 [3]: "of time scales"/"on time scales"). Práce obsahuje i typografické chyby, např. str. 25: chybějící rovnítko ve 4. vztahu shora; str. 26: v Příkladu 2.5: "SV/NSV"; str 30, 7. řádek shora "It holds that ": znaménko minus namísto plus; str 48, 4. řádek zdola: prázdné závorky. Nakonec zmíním i několik věcných pochybení: str. 20: Některá tvrzení jsou uváděna bez důkazu (např. Lemma 1.4, Teorémy 1.8, 1.12, ...), stačil by odkaz. V důkazech Lemmat 1.1 a 1.2 jsou jen vyloučeny příslušné podtřídy, ale není ukázáno, že ty zbylé jsou vyhovující (alespoň zvoláním typu "Je zřejmé, že..."). V Definici 1.7 má být na třech místech namísto výrazu t výraz s; v Definici 1.9 namísto "its right-sided limits exist" má být "it is continuous"; str. 30: v důkazu Teorému 3.1 chybí komentář k mezím na konstantu C. Jinak je ovšem práce celkově velmi dobře pojata a obsahuje nové výsledky získané za použití netriviálního matematického aparátu, jak je dobře patrno z detailně provedených důkazů. Tyto výsledky zobecňují stávající známá tvrzení a přispívají tak k představě o asymptotických vlastnostech řešení studované diferenční rovnice. Práci doporučuji k obhajobě.

eVSKP id 136918