\section{Předběžné měření teplot vinutí a pláště}

\subsection{Motivace pro provedení experimentu}

Cílem tohoto měření byl odhad teploty vinutí z teploty pláště stejnosměrného motoru PD4266 od firmy Transmotec \cite{dc_motor}, který je použit jako pohon pro všechna čtyři~kola na vozidle. Důvodem celého snažení je následující problém: Pokud chceme měřit obecně teplotu motoru za provozu, je zřejmé, že nás bude nejvíce zajímat teplota nejvyšší, která je právě na vinutí a která má značný vliv na výkon motoru a v~případě přetěžování motoru je i varovným ukazatelem pro včasné ukončení přetížení. Za běžného užívání motoru však můžeme jen stěží používat klasický teplotní senzor upevněný na rotoru. Ten bude měřit na plášti. Proto se provede předběžné měření teplot vinutí a pláště. Ze zjištěných hodnot a sestaveného matematického modelu (viz. níže) se odhadnou konstanty, které v modelu figurují. Pak bychom měli být schopni z naměřené teploty pláště (a několika dalších známých hodnot) odhadnout teplotu vinutí. Teoretický základ je čerpán z: \cite{disertace_Grepl}, \cite{skripta_tepelne_procesy}, \cite{diplomovaprace_Vrzal}.

\subsection{Teoretické předpoklady a popis měření}

\subsubsection{Stavový popis modelu}

Zjednodušený model pro měření teplot lze pomocí elektrické analogie znázornit způsobem, který je patrný z obrázku:

\begin{figure}[htb!]
\centering
\includegraphics{images/schema.jpg}
\caption{Elektrická analogie systému pro přenos tepla \cite{disertace_Grepl} }
\end{figure}
\newpage
Pro takovéto schéma můžeme psát následující 2 diferenciální rovnice:

\begin{eqnarray}
P dt=C_r dt_r+\frac{1}{R_r_s}(t_r-t_s) dt
\\[1mm]
\frac{1}{R_r_s}(t_r-t_s) dt=C_s dt_s+\frac{1}{R_s_a}(t_s-t_a) dt
\end{eqnarray}
\\[1mm]
kde

P je ztrátový výkon

$C_r$ je tepelná kapacita vinutí

$C_s$ je tepelná kapacita pláště

$R_r_s$ je tepelný odpor mezi vinutím a pláštěm

$R_s_a$ je teplený odpor mezi pláštěm a okolím

$t_r$ je teplota vinutí

$t_s$ je teplota pláště

$t_a$ je teplota okolí
\\[2mm]
Při odporu $R_r_s$ je uvažován pouze přenos tepla vedením a je tím pádem konstantní. U~odporu $R_s_a$ je problém poněkud složitější. Zde by měl být brán v~potaz přenos tepla radiací a přirozenou konvekcí. Měli bychom se tedy řídit Steffan-Boltzmannovým zákonem, který by však zavedl do modelu nelinearity. Po konzultaci s doktorem Vlachem jsme se rozhodli, že budeme hodnotu považovat za konstatní. Jde sice o jisté zjednodušení, ale jak se ukázalo později, stavový popis vcelku věrně simuloval reálnou situaci. 

Dále ještě uveďme, že ztrátový výkon P se vypočítává během simulace podle empirického vzorce. Po těchto úvahách napišme další 2 rovnice:

\begin{eqnarray}
P=R_wI^2
\\[1mm]
R_w=R_w^2\!^5 (1+\alpha_c_u(t_r-25))
\end{eqnarray}
kde

$R_w$ je elektrický odpor vinutí

$R_w^2\!^5$ je elektrický odpor vinutí při 25 $^oC$

$\alpha_c_u$ je koeficent tepelného odporu mědi (= 0,00392 1/K)
\\[2mm]
Nyní již máme všechny potřebné rovnice pro sestavení stavového popisu. V modelu uvažujeme 2 stavy a 2 výstupy: teploty $t_r$ a $t_s$. Vstupy jsou taktéž 2: ztrátový výkon $P$ a teplota okolí $t_a$. Po krátké úpravě dostaneme matice stavového popisu:

$$ 
A=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{R_r_sC_r}&\frac{1}{R_r_sC_r}\\[2mm]\frac{1}{R_r_sC_s}&-\frac{1}{R_r_sC_s}-\frac{1}{R_s_aC_s}\end{array}\right)\quad
B=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{C_r}&0\\0&\frac{1}{R_s_aC_s}\end{array}\right)\quad
\\[1mm]
C=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right)\quad
D=\left(\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array}\right)
$$

\subsubsection{Způsob měření}

Jak již bylo uvedeno výše, předběžné měření bylo provedeno termočlánky na vinutí a plášti. Motor byl tedy zajišťen proti otáčení a zatížen konstantním proudem. Termočlánky snímaly teploty, dokud nedosáhly tzv. "ustálených" hodnot ($t \to \infty$). Z~naměřených hodnot se pak určily potřebné konstanty.

\subsubsection{Určení konstant}

Po měření průběhu teplot bylo nutno určit hodnoty $R_r_s, R_s_a, C_r$ a $C_s$. Odpory  $R_r_s, R_s_a$ lze určit z ustáleného stavu motoru. Jsou to tedy hodnoty, které ovlivňují pouze maximální teploty, kterých může vinutí nebo plášť dosáhnout. Po provedení měření jsme do modelu dosadily určité startovací hodnoty a spustili simulaci. Podle výsledku byly určeny hodnoty nové a po pár krocích jsme se dostali k dostatečně přesným hodnotám. Kapacity $C_r, C_s$ jsou oproti tomu závislé na průběhu ohřevu. Jinými slovy tyto hodnoty nám právě určují, jakou rychlostí se bude plášť nebo vinutí ohřívat. Pro zjištění správných hodnot použijeme stejný způsob jako u~odporů. Popřípadě si můžeme pomoci empirickým vzorcem, který však není v~tomto případě zcela přesný:

\begin{eqnarray}
\tau_i=R_iC_i
\end{eqnarray}

kde
\\[1mm]
$\tau_i$ je časová konstanta ohřevu (doba, za kterou dosáhneme $63,2$ \% ustálené teploty)
\\[2mm]
Tento způsob určování konstant není zcela odborný. Pro naše nároky na přesnost však zcela postačí.

\subsection{Zhodnocení výsledků}

Následuje tabulka s hodnotami podmínek měření a zjištěnými hodnotami konstant a grafy reálného měření a simulace modelu.

\begin{tabbing}
Zatezny prouddddddddddddddddddddddddddd a\=symbol n\= hodnota n\=\kill
\bf Parametr \>symbol\>hodnota\>jednotky\\[-3mm]
\rule{15cm}{0.5pt}\\[-1mm]
Zátěžný proud  \> I  \> 1,4 \> A \\[0.5mm]
Teplota okolí \> $t_a$ \> 25 \> $^oC$ \\[0.5mm]
Elektrický odpor vinutí při 25 °C \>$R_w^2\!^5$ \>1,6 \> $\Omega$ \\[0.5mm]
Tepelná kapacita pláště \>$C_s$ \> 150,2 \> $(J/K)$ \\[0.5mm]
Tepelná kapacita vinutí \>$C_r$ \> 43,3 \> $(J/K)$ \\[0.5mm]
Tepelný odpor mezi vinutím a pláštěm \>$R_r_s$ \> 4,9 \>$(K/W)$ \\[0.5mm]
Tepelný odpor mezi pláštěm a okolím \>$R_s_a$ \> 3,4 \>$(K/W)$ \\[0.5mm]

\end{tabbing}
\newpage
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.9]{images/graf_mereni.jpg}
\\[2mm]
\caption{Skutečný průběh naměřených teplot vinutí a pláště}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{images/graf_simulace2.jpg}
\\[2mm]
\caption{Teoretický průběh vypočtený ze simulace ohřevu vinutí a pláště}
\\[35mm]
\end{center}
\end{figure}


Na závěr poznamenejme, že celé měření dokázalo, že v běžném provozu se teploty motoru nebudou často dostávat do kritických hodnot. Jednak pohyb rotoru a samotný pohyb vozidla způsobí značné proudění vzduchu, což bude mít za následek ochlazování vinutí a jednak elektrický proud, který bude zatěžovat motor nebude také natolik velký, aby přehřál vinutí. V rámci práce na vozidle byla nastavena pouze určitá kritická hodnota teploty pláště, přes kterou se nesmíme dostat, jinak se motor z důvodu bezpečnosti vypne. Z naměřených hodnot je tedy patrné, že teplotní senzory na motorech nejsou nezbytně nutné. Avšak skutečnost, že motory jsou úmyslně přetěžovány pro dosažení vyššího výkonu, je dostatečně silným důvodem proč teploty na motorech kontrolovat.

Celé měření je poměrně velkou motivací k aktuálním problémům řízení s uvážením přenosu tepla. Ať už na optimální výkon nebo spotřebu.