ČAPUTA, D. Funkcionální analýza a matematické kyvadlo [online]. Brno: Vysoké učení technické v Brně. Fakulta strojního inženýrství. 2019.

Posudek vedoucího

Řehák, Pavel

Bakalant ve své práci uvažuje rovnici matematického kyvadla s externí silou a analyzuje podmínky garantující existenci resp. jednoznačnost periodického řešení. Nejdříve je odvozena příslušná rovnice, včetně uvedení stručného historického přehledu. Kapitola 2 připomíná nástroje funkcionální analýzy, které se využívají při studiu problému. Jádrem práce je Kapitola 3, ve které je nejprve problém převeden na okrajovou úlohu a poté na (ekvivalentní) integrální rovnici. Obecného existenčního výsledku je dosaženo použitím Schauderovy věty o pevném bodu, podmínky pro jednoznačnost jsou pak obdrženy využitím věty Banachovy. Mohu konstatovat, že všechny cíle práce byly naplněny. Student se velmi dobře zorientoval v netriviální problematice (přičemž je potřeba poznamenat, že do témat, která ve větší míře využívají aparát např. funkcionální analýzy, se bakalářští studenti bohužel zrovna moc nehrnou). Oceňuji jeho aktivní a samostatný přístup. Za hlavní přednosti práce považuji detailní zpracování a doplnění důkazových partií, a to včetně alternativních přístupů, a zejména pak diskusi o podmínce pro jednoznačnost, která přináší v podstatě nové výsledky. Grafická a stylistická úprava je též na úrovni. V práci se vyskytuje pár drobných nedokonalostí (lze diskutovat např. o vhodnosti zavedeného značení, či o důslednější specifikaci proměnných a hodnot) - ve značné míře však může jít spíš o otázku vkusu. Vzhledem k výše uvedenému práci doporučuji k obhajobě a hodnotím ji výsledným stupněm A.

Posudek oponenta

Šremr, Jiří

Předložená práce se zabývá analýzou pohybové rovnice buzeného matematického kyvadla a využitím aparátu funkcionální analýzy k důkazu otázek existence a jednoznačnosti jejího periodického řešení. Práce je rozdělena do tří hlavních částí. První část se zabývá odvozením pohybové rovnice matematického kyvadla, její linearizací a historií úlohy o existenci periodických kmitů buzené soustavy. Druhá část shrnuje poznatky z funkcionální analýzy potřebné k dosažení cílů práce. Třetí část je pak věnována analýze získané nelineární diferenciální rovnice, jsou dokázány věty o existenci a jednoznačnosti jejího periodického řešení. Periodická úloha je díky lichosti budící síly převedena na Dirichletovu okrajovou úlohu, která je korektně převedena na ekvivalentní integrální rovnici. K analýze integrální rovnice je využitý aparát funkcionální analýzy popsaný v druhé kapitole. Práce je sepsána velmi pečlivě včetně dobré stylistické úpravy. Text je psán srozumitelně, jednotlivé části na sebe přirozeně navazují, teoretická část obsahuje pouze fakta potřebná k důkazu hlavních vět. Student zřejmě prokázal schopnost práce s odborným textem. V práci jsem nenalezl žádné závažné chyby, pouze některé překlepy a drobné typografické nedostatky. Občasné nepřesnosti a z mého pohledu ne úplně šťastně volené označení (např. "h(s)=F(s)-b^2sin(u(s))" na str. 26) zcela odpovídá zkušenostem studenta 3. ročního se psaním ryze matematického textu. Práce totiž obsahuje výsledky spadající do oblasti kvalitativní teorie diferenciálních rovnic, jednotlivá tvrzení o existenci a jednoznačnosti řešení jsou podrobně a korektně dokázána. Na závěr je diskutováno porovnání předpokladů pro jednoznačnost řešení, používá-li se k důkazu Banachova věta o pevném bodu v prostorech funkcí lebesgueovsky integrovatelných v různých mocninách. Je ukázáno, že nejlepší podmínku jednoznačnosti dostaneme pro hodnotu mocniny kolem 2,6. Zajímavým výsledkem této diskuze je intuitivně očekávaný, avšak ne zřejmý fakt, že pro mocniny jdoucí do nekonečna se předpoklad redukuje na případ získaný při práci v běžně používaném prostoru spojitých funkcí. Podle mého názoru byly cíle práce zcela naplněny. Proto bakalářskou práci vřele doporučuji k obhajobě a hodnotím stupněm A.

eVSKP id 116097