Advanced Decomposition Methods in Stochastic Convex Optimization

Abstract

Při práci s úlohami stochastického programování se často setkáváme s optimalizačními problémy, které jsou příliš rozsáhlé na to, aby byly zpracovány pomocí rutinních metod matematického programování. Nicméně, v některých případech mají tyto problémy vhodnou strukturu, umožňující použití specializovaných dekompozičních metod, které lze použít při řešení rozsáhlých optimalizačních problémů. Tato práce se zabývá dvěma třídami úloh stochastického programování, které mají speciální strukturu, a to dvoustupňovými stochastickými úlohami a úlohami s pravděpodobnostním omezením, a pokročilými dekompozičními metodami, které lze použít k řešení problému v těchto dvou třídách. V práci popisujeme novou metodu pro tvorbu “warm-start” řezů pro metodu zvanou “Generalized Benders Decomposition”, která se používá při řešení dvoustupňových stochastických problémů. Pro třídu úloh s pravděpodobnostním omezením zde uvádíme originální dekompoziční metodu, kterou jsme nazvali “Pool & Discard algoritmus”. Užitečnost popsaných dekompozičních metod je ukázána na několika příkladech a inženýrských aplikacích.

When working with stochastic programming problems, we frequently encounter optimization problems that are too large to be processed by routine methods of mathematical programming. However, in some cases the problem structure allows for a use of specialized decomposition methods that (when utilizing said structure) can be employed to efficiently solve very large optimization problems. This work focuses on two classes of stochastic programming problems that have an exploitable structure, namely two-stage stochastic programming problems and chance constrained problems, and the advanced decomposition methods that can be used to solve optimization problems in these two classes. We describe a novel warm-start cuts for the Generalized Benders Decomposition, which is used as a methods for the two-stage stochastic programming problems. For the class of chance constraint problems, we introduce an original decomposition method, that we named the Pool & Discard algorithm. The usefulness of the described decomposition methods is demonstrated on several examples and engineering applications.