Asymptotické vlastnosti řešení diskrétní Emden-Fowlerovy rovnice druhého řádu
Asymptotic Properties of Solutions of the Second-Order Discrete Emden-Fowler Equation

View/ Open
Author
Advisor
Diblík, JosefReferee
Galewski, MarekRůžičková, Miroslava
Grade
PAltmetrics
Metadata
Show full item recordAbstract
V literatuře je často studována Emden--Fowlerova nelineární diferenciální rovnice druhého řádu $$ y'' \pm x^\alpha y^m = 0, $$ kde $\alpha$ a $m$ jsou konstanty. V disertační práci je analyzována diskrétní analogie Emden-Fowlerovy diferenciální rovnice $$ \Delta^2 u(k) \pm k^\alpha u^m(k) = 0, $$ kde $k\in \mathbb{N}(k_0):= \{k_0, k_0+1, ....\}$ je nezávislá proměnná, $k_0$ je celé číslo a $u \colon \mathbb{N}(k_0) \to \mathbb{R}$ je řešení. V této rovnici je $\Delta^2u(k)=\Delta(\Delta u(k))$, kde $\Delta u(k)$ je diference vpřed prvního řádu funkce $u(k)$, tj. $\Delta u(k) = u(k+1)-u(k)$ a $\Delta^2 (k)$ je její diference vpřed druhého řádu, tj. $\Delta^2u(k) = u(k+2)-2u(k+1)+u(k)$, a $\alpha$, $m$ jsou reálná čísla. Je diskutováno asymptotické chování řešení této rovnice a jsou stanoveny podmínky, garantující existence řešení s asymptotikou mocninného typu: $u(k) \sim {1}/{k^s}$, kde $s$ je vhodná konstanta. Je také zkoumána diskrétní analogie tzv. ``blow-up'' řešení (neohraničených řešení) známých v klasické teorii diferenciálních rovnic, tj. řešení pro která v některém bodě $x^*$ platí $\lim_{x \to x^*} y(x)= \infty$, kde $y(x)$ je řešení Emden-Fowlerovy diferenciální rovnice $$ y''(x) = y^s(x), $$ kde $s \ne 1$ je reálné číslo. Výsledky jsou ilustrovány příklady a porovnávány s výsledky doposud známými. In the literature a differential second--order nonlinear Emden--Fowler equation $$ y'' \pm x^\alpha y^m = 0, $$ where $\alpha$ and $m$ are constants, is often investigated. This thesis deals with a discrete equivalent of the second--order Emden-Fowler differential equation $$ \Delta^2 u(k) \pm k^\alpha u^m(k) = 0, $$ where $k\in \mathbb{N}(k_0):= \{k_0, k_0+1, ....\}$ is an independent variable, $k_0$ is an integer and $u \colon \mathbb{N}(k_0) \to \mathbb{R}$ is an unknown solution. In this equation, $\Delta^2u(k)=\Delta(\Delta u(k))$, $\Delta u(k)$ is the the first-order forward difference of $u(k)$, i.e., $\Delta u(k) = u(k+1)-u(k)$, and $\Delta^2 (k)$ is its second--order forward difference, i.e., $\Delta^2u(k) = u(k+2)-2u(k+1)+u(k)$, $\alpha$, $m$ are real numbers. The asymptotic behaviour of the solutions to this equation is discussed and the conditions are found such that there exists a power-type asymptotic: $u(k) \sim {1}/{k^s}$, where $s$ is some constant. We also discuss a discrete analogy of so-called ``blow-up'' solutions in the classical theory of differential equations, i.e., the solutions for which there exists a point $x^*$ such that $\lim_{x \to x^*} y(x) = \infty$, where $y(x)$ is a solution of the Emden-Fowler differential equation $$ y''(x) = y^s(x), $$ with $s \ne 1$ being a real number. The results obtained are compared to those already known and illustrated with examples.
Keywords
Diskrétní rovnice, Emden-Fowlerova rovnice, nelineární rovnice, systém diskrétních rovnic, asymptoticke chování, princip retraktu., Discrete equation, Emden-Fowler equation, nonlinear equation, system of discrete equations, asymptotic properties, retract principle.Language
angličtina (English)Study brunch
bez specializaceComposition of Committee
prof. RNDr. Jan Chvalina, DrSc. (předseda) Assoc. Prof. Marek Galewski, Ph.D. - reviewer (člen) prof. RNDr. Miroslava Růžičková, CSc. - reviewer (člen) doc. RNDr. Jaromír Baštinec, CSc. (člen) doc. RNDr. Martin Kovár, Ph.D. (člen) doc. RNDr. Michal Novák, Ph.D. (člen) doc. RNDr. Zdeněk Šmarda, CSc. (člen)Date of defence
2023-09-05Process of defence
Prezentace obsahovala přehled výsledků uchazečky, které jsou uvedeny v dizertační práci a proběhla na vynikající úrovni. Komise konstatovala, že problematika dizertace je aktuální a odpovídá oboru, ve kterém je předložena. Hlavní přínos práce je v odvození podmínek pro existenci řešení s asymptotikou mocninného typu pro diskrétní rovnici Emdena-Fowlera druhého řádu a studium „blow-up“ jevu. Uchazečka v úplnosti zodpověděla dotazy oponentů, které byly uvedeny v posudcích a zodpověděla všechny zadané dotazy v diskuzi. Doktorské práce je přehledná a precizně zpracovaná a přináší nové originální výsledky. Výsledky práce byly publikovány na dostatečné úrovni (mj. v časopise Discrete & Continuous Dynamical Systems - Series S). V srpnu byla do tisku v kvalitním časopise Advances in Nonlinear Analysis přijata práce s výsledky další části disertace.Result of the defence
práce byla úspěšně obhájenaPersistent identifier
http://hdl.handle.net/11012/214040Source
KOROBKO, E. Asymptotické vlastnosti řešení diskrétní Emden-Fowlerovy rovnice druhého řádu [online]. Brno: Vysoké učení technické v Brně. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií. 2023.Collections
- 2023 [13]
Citace PRO
Related items
Showing items related by title, author, creator and subject.
-
Kořeny polynomů
Tomšík, FilipUkolem bakaláařské práce bylo prostudovat řešení algebraických a diferenciálních rovnic. Zabýváme se v ní Bairstowovou metodou, která je pro řešení homogenních diferenciálních rovnic vyšších řádů nejvhodnější. Implementace ... -
Prüferovy transformace a jejich aplikace
Švandová, LudmilaTato práce se zabývá různými verzemi Prüferovy transformace a jejich využitím v teorii vybraných lineárních i nelineárních diferenciálních a diferenčních rovnic. Pro každou z těchto rovnic je uvedena Prüferova transformace, ... -
Infiltrace - elementární hydrologický proces
Salač, JanBakalářská práce se zabývá vyhodnocením infiltrace vody do půdy v zájmové lokalitě obce Šakvice. Měření probíhaly ve dnech 13.5.2009 a 10.9.2009 na půdě zpracované klasickým způsobem, tj. s orbou. Pro měření se použily ...