Rozdělení extrémních hodnot a jejich aplikace

Abstract

Práce je zaměřena na rozdělení extrémních hodnot a jejich aplikace. V úvodní části jsou položeny základy teorie extrémních hodnot pro jednorozměrná pozorování. Pomocí limitní věty pro rozdělení maxim jsou zavedeny tři typy extremálních rozdělení (Gumbelovo, Fréchetovo, Weibullovo) včetně charakterizace jejich oborů atraktivity. Dále jsou popsány dva modely pro odhady parametrických funkcí rozdělení extrémních hodnot vycházející ze zobecněného rozdělení extrémních hodnot (model blokových maxim) a zobecněného Paretova rozdělení (prahový model). Pro tato rozdělení jsou odvozeny odhady parametrů metodou maximální věrohodnosti a metodou pravděpodobnostně vážených momentů. Popsané metody jsou následně použity k analýze srážkových úhrnů v brněnském regionu. Dále je pozornost věnována Gumbelově třídě rozdělení, která se v praxi často vyskytuje. V práci jsou odvozeny metody pro statistickou inferenci mnohonásobně zleva cenzorovaných (cenzorování typu I) výběrů z exponenciálního a Weibullova rozdělení, které jsou následně použity k analýze koncentrací syntetických musk sloučenin. Poslední část práce shrnuje základní poznatky z teorie extrémních hodnot pro dvourozměrná pozorování. Součástí práce je také vytvořený demonstrační software pro rozdělení extrémních hodnot.

The thesis is focused on extreme value distributions and their applications. Firstly, basics of the extreme value theory for one-dimensional observations are summarized. Using the limit theorem for distribution of maximum, three extreme value distributions (Gumbel, Fréchet, Weibull) are introduced and their domains of attraction are described. Two models for parametric functions estimation based on the generalized extreme value distribution (block maxima model) and the generalized Pareto distribution (threshold model) are introduced. Parameters estimates of these distributions are derived using the method of maximum likelihood and the probability weighted moment method. Described methods are used for analysis of the rainfall data in the Brno Region. Further attention is paid to Gumbel class of distributions, which is frequently used in practice. Methods for statistical inference of multiply left-censored samples from exponential and Weibull distribution considering the type I censoring are developed and subsequently used in the analysis of synthetic musk compounds concentrations. The last part of the thesis deals with the extreme value theory for two-dimensional observations. Demonstrational software for the extreme value distributions was developed as a part of this thesis.