Efektivní algoritmy pro vysoce přesný výpočet elementárních funkcí
Loading...
Date
Authors
ORCID
Advisor
Referee
Mark
B
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Vysoké učení technické v Brně. Fakulta informačních technologií
Abstract
Vysoce náročné výpočty jsou v dnešní době stále žádanější. Ať už se jedná o simulace na úrovni atomů, kde každá číslice je důležitá a nepřesnost ve výpočtu může způsobit znehodnocení výsledku nebo numerické aproximace při řešení parciálních diferenciálních rovnic, kde malá odchylka zapříčiní, že výsledné řešení je nepoužitelné. Výpočty jsou prováděni s datovými typy, jejichž přesnost se může pohybovat v řádu stovek až tisíců číslic, ne-li více. S tím roste časová náročnost kladená na řešení problému a proto je nutné hledat metody, které nám umožní rychleji dosáhnout správného výsledku. Jakýkoliv složitější fyzikální problém je často popsán soustavou rovnic, ve kterých se nezřídka vyskytují elementární funkce jako sinus, kosinus či exponenciály. Cílem práce je navrhnout a implementovat metody, které pro požadovanou přesnost co nejefektivněji vypočítájí hodnotu elementární funkce v zadaném bodě. Jádrem práce je použití metod založených na AGM (aritmeticko-geometrický průměr), jenž poskytuje časovou složitost v řádu $O(M(n)\log_2{n})$ vzhledem k operaci násobení. Lepší složitosti již nelze dosáhnut. Existuje řada knihoven, které již podporují víceslovní aritmetiku, jednou z nich je knihovna GMP, která bude prostředkem pro realizaci efektivních metod. Na závěr práce budou implementované algoritmy porovnané s existujícími řešeními.
Nowadays high-precision computations are still more desired. Either for simulation on a level of atoms where every digit is important and inaccurary in computation can cause invalid result or numerical approximations in partial differential equations solving where a small deviation causes a result to be useless. The computations are carried over data types with precision of order hundred to thousand digits, or even more. This creates pressure on time complexity of problem solving and so it is essential to find very efficient methods for computation. Every complex physical problem is usually described by a system of equations frequently containing elementary functions like sinus, cosines or exponentials. The aim of the work is to design and implement methods that for a given precision, arbitrary elementary function and a point compute its value in the most efficent way. The core of the work is an application of methods based on AGM (arithmetic-geometric mean) with a time complexity of order $O(M(n)\log_2{n})$ 9(expresed for multiplication $M(n)$). The complexity can not be improved. There are many libraries supporting multi-precision atithmetic, one of which is GMP and is about to be used for efficent method implementation. In the end all implemented methods are compared with existing ones.
Nowadays high-precision computations are still more desired. Either for simulation on a level of atoms where every digit is important and inaccurary in computation can cause invalid result or numerical approximations in partial differential equations solving where a small deviation causes a result to be useless. The computations are carried over data types with precision of order hundred to thousand digits, or even more. This creates pressure on time complexity of problem solving and so it is essential to find very efficient methods for computation. Every complex physical problem is usually described by a system of equations frequently containing elementary functions like sinus, cosines or exponentials. The aim of the work is to design and implement methods that for a given precision, arbitrary elementary function and a point compute its value in the most efficent way. The core of the work is an application of methods based on AGM (arithmetic-geometric mean) with a time complexity of order $O(M(n)\log_2{n})$ 9(expresed for multiplication $M(n)$). The complexity can not be improved. There are many libraries supporting multi-precision atithmetic, one of which is GMP and is about to be used for efficent method implementation. In the end all implemented methods are compared with existing ones.
Description
Keywords
AGM, aritmeticko-geometrický průměr, elementární funkce, vysoce přesné výpočty, víceslovní aritmetika, efektivní metody, aproximace funkcí, Taylorův polynom, redukce argumentů, AGM, arithmetic-geometric mean, elementary functions, high-precision computations, multi-precision arithmetic, efficient methods, function approximation, Taylor's polynom, argument reduction
Citation
CHALOUPKA, J. Efektivní algoritmy pro vysoce přesný výpočet elementárních funkcí [online]. Brno: Vysoké učení technické v Brně. Fakulta informačních technologií. 2013.
Document type
Document version
Date of access to the full text
Language of document
cs
Study field
Matematické metody v informačních technologiích
Comittee
prof. Ing. Tomáš Vojnar, Ph.D. (předseda)
doc. Dr. Ing. Dušan Kolář (místopředseda)
Ing. Martin Hrubý, Ph.D. (člen)
doc. Ing. Vladimír Janoušek, Ph.D. (člen)
doc. Ing. Radomil Matoušek, Ph.D. (člen)
doc. Ing. František Zbořil, Ph.D. (člen)
Date of acceptance
2013-06-20
Defence
Student nejprve prezentoval výsledky, kterých dosáhl v rámci své práce. Komise se pak seznámila s hodnocením vedoucího a posudkem oponenta práce. Student následně odpověděl na otázky oponenta a na další otázku přítomných. Komise se na základě posudku oponenta, hodnocení vedoucího, přednesené prezentace a odpovědí studenta na položené otázky rozhodla práci hodnotit stupněm B. Otázky u obhajoby: Na straně 23 uvádíte vzorec Newton-Raphsonovy iterační metody (3.79). Vysvětlete, k čemu jej v práci využíváte a jak počítáte derivaci v tomto vzorci. Standardně uvádíte, že při výpočtu funkční závislosti "redukujete" interval proměnné. Lze podobně zvýšit rychlost a přesnost výpočtu při použití Taylorovy řady? V kapitole 5 máte značné množství relativně stejných obrázků s výpočtem absolutní chyby. Můžete obrázky komentovat?
Result of defence
práce byla úspěšně obhájena
Document licence
Standardní licenční smlouva - přístup k plnému textu bez omezení