Basics of Qualitative Theory of Linear Fractional Difference Equations
Loading...
Date
Authors
ORCID
Advisor
Referee
Mark
P
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Vysoké učení technické v Brně. Fakulta strojního inženýrství
Abstract
Tato doktorská práce se zabývá zlomkovým kalkulem na diskrétních množinách, přesněji v rámci takzvaného (q,h)-kalkulu a jeho speciálního případu h-kalkulu. Nejprve jsou položeny základy teorie lineárních zlomkových diferenčních rovnic v (q,h)-kalkulu. Jsou diskutovány některé jejich základní vlastnosti, jako např. existence, jednoznačnost a struktura řešení, a je zavedena diskrétní analogie Mittag-Lefflerovy funkce jako vlastní funkce operátoru zlomkové diference. Dále je v rámci h-kalkulu provedena kvalitativní analýza skalární a vektorové testovací zlomkové diferenční rovnice. Výsledky analýzy stability a asymptotických vlastností umožňují vymezit souvislosti s jinými matematickými disciplínami, např. spojitým zlomkovým kalkulem, Volterrovými diferenčními rovnicemi a numerickou analýzou. Nakonec je nastíněno možné rozšíření zlomkového kalkulu na obecnější časové škály.
This doctoral thesis concerns with the fractional calculus on discrete settings, namely in the frame of the so-called (q,h)-calculus and its special case h-calculus. First, foundations of the theory of linear fractional difference equations in (q,h)-calculus are established. In particular, basic properties, such as existence, uniqueness and structure of solutions, are discussed and a discrete analogue of the Mittag-Leffler function is introduced via eigenfunctions of a fractional difference operator. Further, qualitative analysis of a scalar and vector test fractional difference equation is performed in the frame of h-calculus. The results of stability and asymptotic analysis enable us to specify the connection to other mathematical disciplines, such as continuous fractional calculus, Volterra difference equations and numerical analysis. Finally, a possible generalization of the fractional calculus to more general settings is outlined.
This doctoral thesis concerns with the fractional calculus on discrete settings, namely in the frame of the so-called (q,h)-calculus and its special case h-calculus. First, foundations of the theory of linear fractional difference equations in (q,h)-calculus are established. In particular, basic properties, such as existence, uniqueness and structure of solutions, are discussed and a discrete analogue of the Mittag-Leffler function is introduced via eigenfunctions of a fractional difference operator. Further, qualitative analysis of a scalar and vector test fractional difference equation is performed in the frame of h-calculus. The results of stability and asymptotic analysis enable us to specify the connection to other mathematical disciplines, such as continuous fractional calculus, Volterra difference equations and numerical analysis. Finally, a possible generalization of the fractional calculus to more general settings is outlined.
Description
Keywords
zlomkový kalkulus -- časové škály -- zlomková diferenční rovnice -- Riemannův-Liouvilleův diferenční operátor -- stabilita -- asymptotické chování -- diskrétní Mittag-Lefflerova funkce -- Volterrova diferenční rovnice -- Laplaceova transformace, fractional calculus -- time scales -- fractional difference equation -- Riemann-Liouville difference operator -- stability -- asymptotic behaviour -- discrete Mittag-Leffler function -- Volterra difference equation -- Laplace transform
Citation
KISELA, T. Basics of Qualitative Theory of Linear Fractional Difference Equations [online]. Brno: Vysoké učení technické v Brně. Fakulta strojního inženýrství. 2012.
Document type
Document version
Date of access to the full text
Language of document
en
Study field
Aplikovaná matematika
Comittee
prof. RNDr. Jan Franců, CSc. (předseda)
prof. RNDr. Jaroslav Jaroš, CSc. (člen)
doc. Mgr. Pavel Řehák, Ph.D. (člen)
prof. RNDr. Jiří Spousta, Ph.D. (člen)
doc. Mgr. Robert Mařík, Ph.D. (člen)
prof. Aleksandre Lomtatidze, DrSc. (člen)
Date of acceptance
2012-08-28
Defence
Obhajovaná DP má velmi vysokou úroveň a přináší řadu nových výsledků v oblasti diferenciálních a diferenčních rovnic necelých řádů. Výsledky byly publikované i v impaktovaných časopisech.
Result of defence
práce byla úspěšně obhájena
Document licence
Standardní licenční smlouva - přístup k plnému textu bez omezení