Řešení axiálně zatížených prutů pomocí vlastní implementace MKP s využitím kvadratického prvku

Abstract

V tejto bakalárskej práci popisujeme algoritmus tvorby konečno-prvkového modelu axiálne zaťaženého prútu, pri použití kvadratického prvku. V úvode definujeme základné pojmy pružnosti a pevnosti, ktoré v priebehu práce používame, a ktorých znalosť je nevyhnutnou podmienkou pochopenia problémov, pre ktoré bola metóda konečných prvkov odvodená. Práca popisuje prechod od základnej diferenciálnej rovnice k slabej formulácií, na ktorej je táto numerická metóda postavená. Definuje prvkové matice a vektory a prechod od jedného prvku ku globálnym maticiam a vektorom, vztiahnutým k celému telesu. Popisuje implementovanie okrajových podmienok do metódy a postprocessing výsledkov, pre výpočet ďalších neznámych. V praktickej časti definujeme 3 demonštračné úlohy, ktorých výsledky z vlastnej implementácie MKP v programe Matlab, porovnávame s analytickým riešením a riešením z komerčného softvéru, ANSYS Workbench. Úlohy sú zamerané na zložité líniové zaťaženie prútu, meniaci sa priečny prierez a staticky neurčitú úlohu. Výsledky posuvov a normálových napätí naprogramovaného riešiča s kvadratickým prvkom sa zhodujú s výsledkami z Ansysu (pri totožných nastaveniach) a po navýšení počtu prvkov (podľa potreby) i s analytickým riešením. Príklad s premenlivým priečnym prierezom bol v Ansyse riešený rovinnou napätosťou. Bola tak zistená prítomnosť šmykových napätí v častiach priečneho prierezu vzdialených od strednice prútu, ktoré náš riešič neuvažuje a mohli by byť v určitých prípadoch významné.

This bachelor thesis describes an algorithm for programming finite-element model with quadratic elements for axial loaded bar. In the introduction, we define the basic concepts of mechanics of materials, which are used in this thesis and are necessary to understand problems, for which finite element method was formulated. The thesis clarifies a transition from basic differential equation to weak formulation, which is the base of finite element method. We define element matrices and describe transition to global matrices, relating to the whole body. Then describe implementation of boundary conditions and postprocessing of the results, necessary for calculation and displaying of other unknowns. In the practical part, 3 illustrative problems are presented and calculated numerically in FEM solver using Matlab, analytically and in software ANSYS Workbench. Results are then compared and evaluated. Problems have different boundary conditions (linear axial load, tempered cross section, statically indeterminate fixation). Results of displacement and normal stress for programmed solver are identical to those from Ansys (using the same settings) and analytical solution (after more elements are added, if necessary). Problem with tempered cross section was simulated in Ansys using plain stress, because the program can’t define bar with tempered cross section. This revealed sheer stress contained in parts of cross section further from centreline, which are not calculated in our FEM solver and in some cases might be significant.