Řešení diferenčních rovnic a jejich vztah s transformací Z
Loading...
Date
Authors
ORCID
Advisor
Referee
Mark
P
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Vysoké učení technické v Brně. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií
Abstract
Tato disertační práce pojednává o řešení diferenčních rovnic a soustřeďuje se na metodu řešení diferenčních rovnic pomocí vlastních vektorů. V první části jsou v přehledu nejdříve uvedeny základní pojmy diferenčních rovnic jako dynamika diferenčních rovnic, lineární diferenční rovnice prvního a vyššího řádu. Dále jsou v této kapitole připomenuty i systémy diferenčních rovnic včetně fundamentální matice a popisu obecného řešení. Nakonec je připomenuta metoda řešení diferenčních rovnic variací konstant a taktéž transformace skalárních rovnic na systém. Ve druhé části práce rozebírá některé známé postupy a metody, jak vyřešit lineární diferenční rovnice. Připomenuta je transformace Z, její význam a použití při hledání řešení diferenčních rovnic. Dále je zmíněna diskrétní analogie Putzerova algoritmu, neboť tento algoritmus byl často používán při kontrole výsledků získaných nově popsaným algoritmem v dalších částech práce. Rovněž jsou popsány některé způsoby výpočtu mocniny matice soustavy. V další sekci je pak popsán princip Weyrovy metody, která je výchozím bodem pro další rozvinutí teorie, a také je zmíněn výsledek výzkumu Jiřího Čermáka v této oblasti. Třetí část disertace popisuje vlastní řešení systému diferenčních rovnic vlastními vektory, které je založeno na principu Weyrovy metody pro diferenciální rovnice. Teoreticky je zde popsáno řešení homogenního systému diferenčních rovnic s konstantními koeficienty včetně důkazu a toto řešení je pak rozšířeno na nehomogenní systémy. V návaznosti na tuto teorii je rozebrán vliv násobnosti kořene a nulity na tvar řešení. V poslední části je pak popsána implementace algoritmu v programu Matlab pro základní jednodušší případy a jeho použití pro některé případy diferenčních rovnic či systémů s těmito rovnicemi. Závěrečná část je svým zaměřením více praktická a ukazuje použití navrženého algoritmu a postupu. V první sekci je algoritmus porovnáván s transformací Z a metodou variace konstant a názorně je zde ukázáno, jak lze dospět ke stejnému řešení použitím těchto tří postupů. Ve druhé sekci je pak příklad řešení odezvy proudu v obvodu RLC. Nejdříve je popsáno řešení spojitého případu, následně je úloha převedena do diskrétního případu a řešena transformací Z a metodou vlastních vektorů. Získané výsledky jsou pak srovnávány s výsledkem spojitého případu.
This dissertation presents the solution of difference equations and focuses on a method of difference equations solution with the aid of eigenvectors. The first part reminds the basic terms from area of difference equations such as dynamic of difference equations and linear difference equations of first order and higher order. Then the second section recalls also the system of difference equations including the fundamental matrix and general solution description. Afterthat, the method of solving the difference equations with a variation of constants and transform of scalar equations to the system are shown. The second part of the dissertation analyses some known algorithms and methods for the solution of linear difference equations. The Z-transform, its importance and usage for finding the solution of difference equation is recalled. Then the discrete analogue of Putzer's algorithm is mentioned because this algorithm was often used to check the results obtained by the newly described algorithm in further parts of this thesis. Also some ways of the system matrix power are stated. The next section then describes the principle of Weyr's method which is the basic point for further development of the theory including the presentation of the research results gained by Jiří Čermák in this area. The third part describes own solution of the difference equations system via eigenvectors based on the principle of Weyr's method for differential equations. The solution of system of linear homogeneous difference equtions with constant coefficients including the proof is presented and this solution is then extended to nonhomogeneous systems. Consequently to the theory, the influence of a nulity and the multiplicity of roots on the form of the solution is discussed. The last section of this part shows the implementation of the algorithm in Matlab program (for basic simpler cases) and its application to some cases of difference equations and systems with these equations. The final part of the thesis is more practical and it presents the usage of the designed algorithm and theory. Firstly, the algorithm is compared with Z-transform and the method of variation of constants and it is illustrated how to obtain the same results by using these three approaches. Then an example of current response solution in RLC circuit is demonstrated. The continuous case is solved and then the problem is transferred to discrete case and solved with the Z-transform and the method of eigenvectors. The obtained results are compared with the result of the continuous case.
This dissertation presents the solution of difference equations and focuses on a method of difference equations solution with the aid of eigenvectors. The first part reminds the basic terms from area of difference equations such as dynamic of difference equations and linear difference equations of first order and higher order. Then the second section recalls also the system of difference equations including the fundamental matrix and general solution description. Afterthat, the method of solving the difference equations with a variation of constants and transform of scalar equations to the system are shown. The second part of the dissertation analyses some known algorithms and methods for the solution of linear difference equations. The Z-transform, its importance and usage for finding the solution of difference equation is recalled. Then the discrete analogue of Putzer's algorithm is mentioned because this algorithm was often used to check the results obtained by the newly described algorithm in further parts of this thesis. Also some ways of the system matrix power are stated. The next section then describes the principle of Weyr's method which is the basic point for further development of the theory including the presentation of the research results gained by Jiří Čermák in this area. The third part describes own solution of the difference equations system via eigenvectors based on the principle of Weyr's method for differential equations. The solution of system of linear homogeneous difference equtions with constant coefficients including the proof is presented and this solution is then extended to nonhomogeneous systems. Consequently to the theory, the influence of a nulity and the multiplicity of roots on the form of the solution is discussed. The last section of this part shows the implementation of the algorithm in Matlab program (for basic simpler cases) and its application to some cases of difference equations and systems with these equations. The final part of the thesis is more practical and it presents the usage of the designed algorithm and theory. Firstly, the algorithm is compared with Z-transform and the method of variation of constants and it is illustrated how to obtain the same results by using these three approaches. Then an example of current response solution in RLC circuit is demonstrated. The continuous case is solved and then the problem is transferred to discrete case and solved with the Z-transform and the method of eigenvectors. The obtained results are compared with the result of the continuous case.
Description
Citation
KLIMEK, J. Řešení diferenčních rovnic a jejich vztah s transformací Z [online]. Brno: Vysoké učení technické v Brně. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií. 2011.
Document type
Document version
Date of access to the full text
Language of document
cs
Study field
Matematika v elektroinženýrství
Comittee
prof. RNDr. Jan Chvalina, DrSc. (předseda)
prof. RNDr. František Neuman, DrSc. (člen)
prof. RNDr. Vladislav Navrátil, CSc. (člen)
doc. RNDr. Zdeněk Šmarda, CSc. (člen)
Prof. Ing. Zdeněk Smékal, CSc. - oponent (člen)
Prof. RNDr. Miroslava Růžičková, CSc. - oponentka (člen)
Date of acceptance
2011-06-07
Defence
Result of defence
práce byla úspěšně obhájena
Document licence
Standardní licenční smlouva - přístup k plnému textu bez omezení